Parabol Konu Anlatımı

PARABOL NEDİR?

A. TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

r=-b/2a ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır.

Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir.

X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)² + k fonksiyonunun grafiğinin


tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax² + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(0, c) dir.

Ü ax² + bx + c = 0 denkleminde

• D = b² – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser. www.matematikcifatih.tr.gg
• D = b² – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
• D = b² – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.

D. x² NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x² nin katsayısı g deki x² nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x₁) (x – x₂) ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)² + k ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y₁ = ax₁² + bx₁ + c ... (1)

y₂ = ax₂² + bx₂ + c ... (2)

y₃ = ax₃² + bx₃ + c ... (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + c – n = 0 ... (_*)

(_*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (_*) denkleminde;

• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
• D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

Ü y = ax² + bx + c parabolü ile y = dx² + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı

KARMAŞIK SAYILAR VE KOMPLEKS SAYILAR NE DEMEKTİR?

Karmaşık sayılar, gerçel sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bütün karmaşık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + bi biçimde yazılabilir. Burada i, x² = - 1

denkleminin köklerinden biri, başka bir deyişle -1′in kareköküdür. www.matematikcifatih.tr.gg Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.

Karmaşık sayılarda işlemler nasıl yapılır?

Toplama ve çıkarma

Çarpma

Bölme

Diğer bir ifade yöntemiyle şu şekilde yazılır.

olmak üzere; z = (a,b) = a + bi Buradan da anlaşılabileceği gibi Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

Toplama ve çarpma işlemi ise şu şekilde tanımlanır: z₁ = (a,b),z₂ = (c,d) olmak üzere;

Bu sonuçtan yukarıdaki eşitlikleri çıkartabiliriz.

Polinomlar Konu Anlatımı

POLİNOMLAR NEDİR?
POLİNOM ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.

Örnek:
NÎP(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.www.matematikcifatih.tr.gg
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da³ 0 den n ³n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.¹a0

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
an =ÛA(x) = B(x) bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
5 = b – 1, a + 1 = -3, 0ÞA(x) = B(x) = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI
R®P : R
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +®x a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

R®P : R
P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.®x

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2×2 + 4 eşitliğinde
h –2 = x’i yerineÞH = x + 2 yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0
B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
3 x + 4 polinomlarınınÖP(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
3-3)Ö3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (ÖP(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = - 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 - x3 – 2×2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 - x3 –2×2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Fonksiyonlar Konu Anlatımı

FONKSİYONLAR

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.

Fonksiyon olması için;

1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.

2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.

3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.

4) B’de açıkta elaman kalabilir.

Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}

A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?

a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}

b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}

c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}

Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.

g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.

f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.

Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.

f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.

y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.

Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.

Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma

Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni

Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni

Örnek: A={a,b,c} B={1,2,3,4,5,6} ise

Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi

f={(a,2),(b,4),(c,4)}

Fonksiyonun görüntü kümesi

f(A)={2,4}

Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A---->B, f(x) = x²-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini

bulalım.

Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.

x=-1 için f(-1)=(-1)²-2=-1

x=0 için f(0)=(0)²-2=-2

x=2 için f(2)=(2)²-2=2

x=4 için f(4)=(4)²-2=14

f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}

f(A)={-1,-2,2,14}

Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?

f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde

x=1 yazalım.

f(2)=3+f(1)

f(2)=3+4=7

x=2 yazalım.

f(3)=3+f(2)

f(3)=3+7=10

Örnek: f: R---->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?

f(x) = 3x+5

f(2x+3) = 3(2x+3)+5

f(2x+3) = 6x+14

f(2x+3) = 2(3x+5)+4

f(2x+3) = 2f(x)+4

Örnek: f: R---->R, f(3x+2) = x²-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı

kaçtır?

f(3x+2) = x²-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.

3x+2=5 buradan x=1 olur.

x=1 için f(5)=1-1+2=2

3x+2=2 buradan x=0 olur.

x=0 için f(2)=0-0+2=2

f(5)+f(2)=2+2=4

Düşey Doğru Testi

Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.

Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri

Bire-Bir Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)

Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.

Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2,3,4,5}

f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}

g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}

g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.

f fonksiyonu bire-bir’dir.

Yatay Doğru Testi

Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.

Örten Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.

Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.

Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.

f fonksiyonu örten’dir.

Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.

Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.

İçine Fonksiyon

f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.

Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?

A={0,1,2,3} B={0,1,2}

f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}

g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}

g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.

Birim Fonksiyon

A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.

I: A---->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.

Örnek: I: A---->A , I(x)=x

A={1,2,3} B={1,2,3}

f={(1,1),(2,2),(3,3)} birim fonksiyondur.

Sabit Fonksiyon

Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.

f(x)=c (cϵR)

Örnek: x---->y, f(x)=4

A={1,2,3} B={3,4,5}

f={(1,4),(2,4),(3,4)} sabit fonksiyondur.

Doğrusal Fonksiyon

Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

f: R---->R f(x)=mx+n olarak ifade edilir.

Örnek: f: R---->R f(x)=mx+n

f(x)=x-2

g(x)=-4x+1

h(x)=5x

k(x)=x²

Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.

Fonksiyon Sayısı

A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.

a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?

s(B)^s(A) formülüyle bulunur.

s(A)=3

s(B)=5

s(B)^s(A) = 5³ = 5.5.5 = 125’tir.

b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m, s(B)=n

P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.

P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.

c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?

B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.

d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?

s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!

P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.

Bağıntı - Kartezyen Çarpım Konu anlatımı

BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM

Sıralı İkili

Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.

(a,b) ≠ (b,a) Yer değiştiğinde eşit olmaz.

(a,b)=(c,d) Burada a=c ve b=d olur.

Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?

2x-1=5+x buradan x=6 olur.

3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.

Kartezyen Çarpım

A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.

AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}

Örnek: A={1,2,3} B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

s(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)

s(AxA)= s(A). s(A)

Örnek: A={1,2} B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Örnek: A={1,2,3}

AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.

2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.

3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.

4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.

Bağıntı

A ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.

s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.m

O zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2^n.m dir.

Örnek: A={1,2} B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.

β₁={(1,a),(2,a)}

β₂={(1,a),(2,a),(1,b)}

β₃={(2,b)}

Bu şekilde AxB’nin 2⁴=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,

A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.

Bağıntının Tersi

β bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β^-1 ile

gösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β^-1

bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.

Örnek: A={3,5,7,8} kümesinde

β={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersi

β^-1={(5,3),(8,7),(5,5)}

Yansıma Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c} kümesi için

β₁={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.

β₂={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.

Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.

β₂={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.

β simetrik bağıntı ise β= β^-1

β bağıntısının grafiği ile β^-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusuna

göre simetriktir.

Ters Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.

β₂={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.

Geçişme Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.

Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.

β₂={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.

Örnek: A={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı bazı bağıntılar verilmiştir.

Bağıntılar	Yansıma	Simetri	Ters Simetri	Geçişme
β1={(1,1),(2,2),(3,3)}	var	var	var	var
β2={(2,2),(1,1),(1,3),(3,1)}	yok	var	yok	var
β3={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}	var	yok	var	var
β4={(1,1),(2,2),(3,2),(1,3)}	yok	yok	var	yok
β5={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)}	yok	yok	yok	yok
β6={(2,1),(1,2),(1,1),(2,2)}	yok	var	yok	yok
β7={(1,1)}	yok	var	var	var
β8={(2,3)}	yok	yok	var	var

Kümeler Konu Anlatımı

KÜMELER

Kümelerde Temel Kavramlar

A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.

A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak} s(A)=5 Eleman sayısı 5’dir.

Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.

A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}

“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.

B={x:x <100 ve x asal sayı}

Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.

Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.

C={x:x asal sayı}

Burada asal sayılar diyor.Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.

A={a,b,c,d,e}

B={c,d,e}

Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.

Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Her küme kendisinin alt kümesidir.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

D={1,2,3,4} s(D)=4

C={a,b,c,d} s(C)=4

O zaman C≡D deriz.

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

A={a,b,c,d,e}

B={a,b,c,d,e}

O zaman C=D deriz.

Alt Küme Sayısı

n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur.

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.

n elamanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1 formülüyle bulunur.

Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}

Kümenin elaman sayısı s(A)=6

Kümenin alt küme sayısı 2ⁿ=2⁶=64

Kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1=2⁶-1=64-1=63

Küme	Alt Kümeleri		Alt Küme Sayısı
{ }	0 elemanlı	{ }	1
{a}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elamanlı	{a}	1
{a,b}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b}	2
	2 elemanlı	{a,b}	1
{a,b,c}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c}	3
	2 elemanlı	{a,b},{a,c},{b,c}	3
	3 elemanlı	{a,b,c}	1
{a,b,c,d}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c},{d}	4
	2 elemanlı	{a,b}{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}	6
	3 elemanlı	{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},{b,c,d}	4
	4 elemanlı	{a,b,c,d}	1

n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonu denir.

(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.

Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,

(n,r)=n!/(n-r)!.r!

(5,4)=5!/(5-4)!.4!

(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5

5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.

Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım.

a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz.

2⁶=64

b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur.

2⁶=64

c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz.

Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 2⁷-2⁵=128-32=96

d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur.

2⁷-2⁵=128-32=96

e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz.

2⁷-2⁵=128-32=96

f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur.

2⁵=32

g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

(7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35

h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur.

(6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20

k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.

(6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15

l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur.

(5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10

m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz.

(5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10

n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29

o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29

Kümelerde İşlemler

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.

Eşitlikler

AUB=BUA

A∩B=B∩A

AUA=A

A∩A=A

AU(BUC)=(AUB)UC

A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C

AU(B∩C)=(AUB) ∩(AUC)

A∩(BUC)=(A∩B) U(A∩C)

AU Ø =A

A∩ Ø = Ø

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

AUA={1,2,3,4,5,6}

AU Ø ={1,2,3,4,5,6}

AUB={1,2,3,4,5,6}

A∩A={1,2,3,4,5,6}

A∩ Ø = Ø

A∩C={3,6}

AU(B∩C)={1,2,3,4,5,6}

A∩(BUC)={1,2,3,6}

(A∩B) ∩C={3}

AU(BUC)={1,2,3,4,5,6,9}

Formüller

S(AUB)=s(A)+s(B)-s(A∩B)

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

S(AUBUC)=6+3+ 3-3 -2-1+1

S(AUBUC)=7

Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir.E ile gösterilir.

A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir.A’ ile gösterilir.

A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A-B olarak gösterilir.

B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir. B-A olarak gösterilir.

Örnek: A={1,2,3,4,a,b}, B={2,3,a,5,c,7}, E={1,2,3,4,5,6,7,a,b,c,d,8}

Bu soruyu şekil çizerek daha iyi çözebilirsiniz.

A’={5,6,7,8,c,d}

B’={1,4,6,8,b,d}

A∩B={2,3,a}

(A∩B)’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

(AUB)’={6,8,d}

A’∩B’={6,8,d}

A’UB’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

A-B={1,4,b}

B-A={5,7,c}

A-A= Ø

A- Ø=A={1,2,3,4,a,b }

Ø-A= Ø

A-E= Ø

E-A=A’={5,6,7,8,c,d }

Mantık Konu Anlatımı

MANTIK

Önermeler

Bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa 1 veya D, yanlış hüküm bildiriyorsa 0 veya Y ile gösterilir.Doğruluk değerleri dendiğinde 0 ve 1 alırız.

Bir p önermesi için iki farklı doğruluk durumu vardır.

p doğru olabilir,p yanlış olabilir.

p		p
D		1
Y		0

p ve q önermeleri için 4 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

p, q, r önermeleri için 8 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1

4 önerme için 16 farklı doğruluk durumu vardır.

Demekki n farklı önerme için 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır.

Önerme sayısı 1 ise 2¹=2

Önerme sayısı 2 ise 2²=2.2=4

Önerme sayısı 3 ise 2³=2.2.2=8

Önerme sayısı 4 ise 2⁴=2.2.2.2=16

Şeklinde devam eder.

Denk Önermeler:

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p≡q ile gösterilir.

Bir önermenin olumsuzuna önermenin değili denir. p’ gösterilir.

p≡1 iken p’≡0

p=0 iken p’≡1

Bir önermenin değilinin değili kendisidir.

p≡1 p’≡0 (p’)’≡1 olur.

Bileşik Önermeler

Önermeler birleştirilirken bağlaçlar kullanılır.

p,q önermeleri veya bağlacı ile birleştirilirse p veya q yani pvq olur. Veya’lar doğrulardan yanadır.

p	q	pvq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p,q önermeleri ve bağlacı ile birleştirilirse p ve q yani p Λ q olur. Ve’ler yanlışlardan yanadır.

p	q	p Λ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

De Morgan Kuralları:

(pvq)’ ≡ p’ Λ q’

(p Λ q)’ ≡ p’ v q’

Bu denklikleri bu adam bulduğu için ismini vermiştir.

p,q önermeleri ise bağlacı ile birleştirilirse p ise q yani p => q olur.Burada ikinci önermeye bağlı sonuç çıkıyor.Bu bileşik önermeye koşullu önerme denir. p => q önermesinin karşıtı q => p dir. p => q önermesinin tersi p’ => q’ dür. p => q önermesinin karşıt tersi q’ => p’ dür.

p	q	p =>q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p,q önermeleri ancak ve ancak bağlacı ile birleştirilirse p ancak ve ancak q yani p <=> q olur.

p	q	p <=>q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Herhangi iki p ve q önermeleri için p <=> q≡1 olduğunda bu bileşik önermeye çift gerektirme denir.

Doğruluk değeri daima 1 olan önermelere totoloji denir.

Doğruluk değeri daima 0 olan önermelere çelişki denir.

Açık Önermeler

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru yada yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.

Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine,açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Açık önerme	Doğruluk kümesi
p(x): x<4 , xϵN	D={0,1,2,3}
p(x): x2<13 , xϵZ	D={-3,-2,-1,0,1,2,3}

“Bazı” niceleyicisi Ǝ sembolü ile gösterilir.En az bir anlamına gelir.

“Her” niceleyicisi ɏ sembolü ile gösterilir.Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu bazı niceleyicisidir.

P(x): “Her şubat ayı 28 gündür.”	P’(x): “Bazı şubat ayları 28 gün değildir.”
Q(x): “Her insan mavi gözlü değildir.”	Q’(x): “Bazı insanlar mavi gözlüdür.”
R(x): “Her balık denizde yaşamaz.”	R’(x): “Bazı balıklar denizde yaşar.”
S(x): “Bazı hayvanlar evcildir.”	S’(x): “Her hayvan evcil değildir.”

İspat Yöntemleri

p: “Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer.”

q: “Farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.”

r: “Uzayda doğrusal olmayan üç noktadan yalnız ve yalnız bir düzlem geçer.”

s: “Uzayda kesişen iki düzlemin ara kesiti bir doğrudur.”

p,q,r,s önermeleri aksiyomdur.Aksiyom, doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelerdir.

Doğruluğunu göstermek zorunda olduğumuz önermelere teorem denir.Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur.

p=>q teoreminde p’ye hipotez(varsayım), q’yada hüküm(yargı) denir.

p: “Bir ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180 derecedir.”

Hipotez: ABC üçgendir.

Hüküm: İç açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.

Örnek:

Teorem: “İki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.”

Hipotez: a ve b iki çift sayıdır.

Hüküm: Çarpımları daima çift sayıdır.

İspat: a bir çift sayı ise a=2n olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. b bir çift sayı ise b=2m olacak şekilde bir m doğal sayısı vardır.

a.b=2n.2m=2.2nm=2.(2nm)=2k

2nm=k olacak şekilde bir k doğal sayısı vardır.Bu durumda iki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.

Örnek: [p'Λ(qvr')]≡0 ise p,q,r önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	p’	q	r	r’	[p’Λ(qvr’)]
1	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0

Örnek: [(1v0)’v(0’Λ1)’]v1=?

Ne demiştik VEYA’lar doğrulardan yanadır,VE’ler yanlışlardan yanadır.

Önce parantez içlerini ayrı ayrı yapıyoruz.

(1v0)’=1’=0

(0’Λ1)’=(1Λ1)’=1’=0

[0v0]=0

Parantezler bittikten sonra dıştakini dahil ederek sonuca ulaşıyoruz.

0v1=1

Örnek: [pv(pΛq)’]≡1 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	pΛq	(pΛq)’	pv(pΛq)’
1	1	1	0	1
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	1	1

Örnek: [qΛ(pΛq’)]≡0 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	q’	pΛq’	qΛ(pΛq’)
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0